Вы ввели:

cot(x+pi/4)

Что Вы имели ввиду?

cot((x + pi)/4)

cot(x + pi/4)

cot(x + pi/4)

Производная cot(x+pi/4)

Решение

Вы ввели [src]

   /    pi\
cot|x + --|
   \    4 /

$$\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

d /   /    pi\\
--|cot|x + --||
dx\   \    4 //

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить эту производную.
Method #1
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
2. Заменим $u = \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ .
3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ :
      
      дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
      
      В результате: $1$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ :
      
      дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
      
      В результате: $1$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
Method #2
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ :
    1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
      
      В результате: $1$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ :
    1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
      
      В результате: $1$
    В результате последовательности правил:
    
    $\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{2}{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

Ответ:

$\frac{2}{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        2/    pi\
-1 - cot |x + --|
         \    4 /

$$- \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /       2/    pi\\    /    pi\
2*|1 + cot |x + --||*cot|x + --|
  \        \    4 //    \    4 /

$$2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /       2/    pi\\ /         2/    pi\\
-2*|1 + cot |x + --||*|1 + 3*cot |x + --||
   \        \    4 // \          \    4 //

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Производная cot(x+pi/4)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2