Производная cot(4^x)

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(4^{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(4^{x} \right)}}$

   2. Заменим $u = \tan{\left(4^{x} \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(4^{x} \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(4^{x} \right)} = \frac{\sin{\left(4^{x} \right)}}{\cos{\left(4^{x} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4^{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4^{x} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 4^{x}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4^{x}$:

            1. $\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $4^{x} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(4^{x} \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 4^{x}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4^{x}$:

            1. $\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $- 4^{x} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(4^{x} \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{4^{x} \log{\left(4 \right)} \sin^{2}{\left(4^{x} \right)} + 4^{x} \log{\left(4 \right)} \cos^{2}{\left(4^{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(4^{x} \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{4^{x} \log{\left(4 \right)} \sin^{2}{\left(4^{x} \right)} + 4^{x} \log{\left(4 \right)} \cos^{2}{\left(4^{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(4^{x} \right)} \tan^{2}{\left(4^{x} \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(4^{x} \right)} = \frac{\cos{\left(4^{x} \right)}}{\sin{\left(4^{x} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(4^{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4^{x} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 4^{x}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4^{x}$:

         1. $\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- 4^{x} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(4^{x} \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 4^{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4^{x}$:

         1. $\frac{d}{d x} 4^{x} = 4^{x} \log{\left(4 \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $4^{x} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(4^{x} \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- 4^{x} \log{\left(4 \right)} \sin^{2}{\left(4^{x} \right)} - 4^{x} \log{\left(4 \right)} \cos^{2}{\left(4^{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(4^{x} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\log{\left(4^{4^{x}} \right)}}{\sin^{2}{\left(4^{x} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(4^{4^{x}} \right)}}{\sin^{2}{\left(4^{x} \right)}}$