Производная cot(4/x)

Решение

Вы ввели [src]

   /4\
cot|-|
   \x/

$$\cot{\left(\frac{4}{x} \right)}$$

d /   /4\\
--|cot|-||
dx\   \x//

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{4}{x} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить эту производную.
Method #1
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{4}{x} \right)}}$
2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{4}{x} \right)}$ .
3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{4}{x} \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{4}{x}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{4 \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{4}{x}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{4 \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$
Method #2
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{4}{x}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{4 \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{4}{x}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{4 \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{4}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

Ответ:

$\frac{4}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   /        2/4\\
-4*|-1 - cot |-||
   \         \x//
-----------------
         2       
        x

$$- \frac{4 \left(- \cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} - 1\right)}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                /          /4\\
                |     4*cot|-||
  /       2/4\\ |          \x/|
8*|1 + cot |-||*|-1 + --------|
  \        \x// \        x    /
-------------------------------
                3              
               x

$$\frac{8 \left(-1 + \frac{4 \cot{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                /          /4\      /       2/4\\         2/4\\
                |    24*cot|-|   16*|1 + cot |-||   32*cot |-||
  /       2/4\\ |          \x/      \        \x//          \x/|
8*|1 + cot |-||*|3 - --------- + ---------------- + ----------|
  \        \x// |        x               2               2    |
                \                       x               x     /
---------------------------------------------------------------
                                4                              
                               x

$$\frac{8 \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} + 1\right) \left(3 - \frac{24 \cot{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x} + \frac{32 \cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{16 \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot(4/x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2