Производная (e^x)-(sin(x))*(e^x)*(cos(x)^3)*(e^x)-(sin(x)^3)*(e^x)*(cos(x))*(e^x)

1. дифференцируем $- e^{x} e^{x} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - e^{x} e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{x}$ почленно:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f_{0}{\left(x \right)} f_{1}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} = f_{0}{\left(x \right)} f_{1}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{3}{\left(x \right)} + f_{0}{\left(x \right)} f_{1}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{2}{\left(x \right)} + f_{0}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{1}{\left(x \right)} + f_{1}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{0}{\left(x \right)}$

         $f_{0}{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{0}{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         $f_{1}{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{1}{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         $f_{2}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{2}{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

         2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         $f_{3}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{3}{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате: $- 3 e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $3 e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos^{4}{\left(x \right)}$

   3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f_{0}{\left(x \right)} f_{1}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} = f_{0}{\left(x \right)} f_{1}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{3}{\left(x \right)} + f_{0}{\left(x \right)} f_{1}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{2}{\left(x \right)} + f_{0}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{1}{\left(x \right)} + f_{1}{\left(x \right)} f_{2}{\left(x \right)} f_{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f_{0}{\left(x \right)}$

         $f_{0}{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{0}{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         $f_{1}{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{1}{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         $f_{2}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{2}{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

         2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         $f_{3}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f_{3}{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате: $- e^{2 x} \sin^{4}{\left(x \right)} + 2 e^{2 x} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $e^{2 x} \sin^{4}{\left(x \right)} - 2 e^{2 x} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   В результате: $e^{2 x} \sin^{4}{\left(x \right)} - 2 e^{2 x} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos^{4}{\left(x \right)} + e^{x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) e^{x}$

Ответ:

$\left(- \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) e^{x}$