Господин Экзамен

Lang:

Производная e^(x/2)*sin(x)

Вы ввели [src]

 x       
 -       
 2       
e *sin(x)

$$e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}$$

  / x       \
  | -       |
d | 2       |
--\e *sin(x)/
dx

$$\frac{d}{d x} e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
2. Производная $e^{u}$ само оно.
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
В результате: $\frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(x \right)}$
Теперь упростим:

$\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}$

Ответ:

$\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}$

График

Первая производная [src]

             x       
        x    -       
        -    2       
        2   e *sin(x)
cos(x)*e  + ---------
                2

$$\frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                       x
                       -
/  3*sin(x)         \  2
|- -------- + cos(x)|*e 
\     4             /

$$\left(- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                         x
                         -
                         2
(-11*sin(x) - 2*cos(x))*e 
--------------------------
            8

$$\frac{\left(- 11 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{8}$$

Упростить

График