Производная e^-x*(x^2+6*x+6)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} + 6 x + 6$ и $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 6 x + 6$ почленно:

      1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $6$

      В результате: $2 x + 6$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(\left(2 x + 6\right) e^{x} - \left(x^{2} + 6 x + 6\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $x \left(- x - 4\right) e^{- x}$

Ответ:

$x \left(- x - 4\right) e^{- x}$