Производная exp(x)*sin(x^3)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{3} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{3}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{3}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате последовательности правил:

      $3 x^{2} \cos{\left(x^{3} \right)}$

   В результате: $3 x^{2} e^{x} \cos{\left(x^{3} \right)} + e^{x} \sin{\left(x^{3} \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(3 x^{2} \cos{\left(x^{3} \right)} + \sin{\left(x^{3} \right)}\right) e^{x}$

Ответ:

$\left(3 x^{2} \cos{\left(x^{3} \right)} + \sin{\left(x^{3} \right)}\right) e^{x}$