Производная exp(3-x)/(3-x)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \left(3 - x\right) e^{x - 3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 3 - x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $3 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x - 3}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x - 3$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)$:

         1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

            1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $e^{x - 3}$

      В результате: $\left(3 - x\right) e^{x - 3} - e^{x - 3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(- \left(3 - x\right) e^{x - 3} + e^{x - 3}\right) e^{6 - 2 x}}{\left(3 - x\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x - 2\right) e^{3 - x}}{x^{2} - 6 x + 9}$

Ответ:

$\frac{\left(x - 2\right) e^{3 - x}}{x^{2} - 6 x + 9}$