Производная 2^x*log(2*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x}$

   В результате: $2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 x \right)} + \frac{2^{x}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2^{x} \left(\log{\left(2^{x} \right)} \log{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x}$

Ответ:

$\frac{2^{x} \left(\log{\left(2^{x} \right)} \log{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x}$