Производная 2^(tan(1/x))

Решение

Вы ввели [src]

    /  1\
 tan|1*-|
    \  x/
2

$$2^{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

  /    /  1\\
  | tan|1*-||
d |    \  x/|
--\2        /
dx

$$\frac{d}{d x} 2^{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
$\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$ :
    1. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $- \frac{1}{x^{2}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$ :
    1. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $- \frac{1}{x^{2}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{2^{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

     /  1\                        
  tan|1*-|                        
     \  x/ /       2/  1\\        
-2        *|1 + tan |1*-||*log(2) 
           \        \  x//        
----------------------------------
                 2                
                x

$$- \frac{2^{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(\tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    /1\               /         /1\   /       2/1\\       \       
 tan|-|               |    2*tan|-|   |1 + tan |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |         \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + tan |-||*|2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \       x                x          /       
------------------------------------------------------------------
                                 3                                
                                x

$$\frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(2 + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{3}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                       /                                                           2                                                                 \        
     /1\               |      /       2/1\\        2/1\         /1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\           /1\|        
  tan|-|               |    2*|1 + tan |-||   4*tan |-|   12*tan|-|   |1 + tan |-|| *log (2)   6*|1 + tan |-||*log(2)   6*|1 + tan |-||*log(2)*tan|-||        
     \x/ /       2/1\\ |      \        \x//         \x/         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//           \x/|        
-2      *|1 + tan |-||*|6 + --------------- + --------- + --------- + ---------------------- + ---------------------- + -----------------------------|*log(2) 
         \        \x// |            2              2          x                  2                       x                             2             |        
                       \           x              x                             x                                                     x              /        
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               4                                                                              
                                                                              x

$$- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(6 + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{12 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{4}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 2^(tan(1/x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение