Производная a*x*e^-x

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      Теперь применим правило производной деления:

      $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x}$

   Таким образом, в результате: $a \left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $a \left(1 - x\right) e^{- x}$

Ответ:

$a \left(1 - x\right) e^{- x}$