Производная ((a+x)/(a-x))^n

1. Заменим $u = \frac{a + x}{a - x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{n}$ получим $\frac{n u^{n}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \frac{a + x}{a - x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = a + x$ и $g{\left(x \right)} = a - x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $a + x$ почленно:

         1. Производная постоянной $a$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $a - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $a$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2 a}{\left(a - x\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 a n \left(\frac{a + x}{a - x}\right)^{n}}{\left(a - x\right) \left(a + x\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 a n \left(\frac{a + x}{a - x}\right)^{n}}{\left(a - x\right) \left(a + x\right)}$

Ответ:

$\frac{2 a n \left(\frac{a + x}{a - x}\right)^{n}}{\left(a - x\right) \left(a + x\right)}$