Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
- Предел x^3/(-1+x)^2
-
Предел x/(1+x^3)
- Предел sin(x)^(-2)
- Предел 9-x-x^(2/3)
- Производная:
-
x^2/(3-x^2)
-
Идентичные выражения
- x^ два /(три -x^ два)
- x в квадрате делить на (3 минус x в квадрате )
- x в степени два делить на (три минус x в степени два)
- x2/(3-x2)
- x2/3-x2
- x²/(3-x²)
- x в степени 2/(3-x в степени 2)
- x^2/3-x^2
- x^2 разделить на (3-x^2)
-
Похожие выражения
- (-1+x)^(2/3)-x^(2/3)
- (3-x)^2-(3+x)^2+(3+x)^2/(3-x)^2
- ((3+x)^2+(3-x)^2)/((3-x)^2-(3+x)^2)
- x^2/(3+x^2)
- -(3+x)^2+((3+x)^2+(3-x)^2)/(3-x)^2
-
Что Вы имели ввиду?
- x^2/(3 - x^2)
- x^2*2/(3 - x)
- x^2/((3 - x)^2)
- x^2/3 - x^2
- x*2/(3 - x^2)
- x*2*2/(3 - x)
- x^2/3 - x^2
Вы ввели:
x^2/(3-x^2)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции x^2/(3-x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \
| x |
lim |------|
x->oo| 2|
\3 - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$
Limit(x^2/(3 - x^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{3}{x^{2}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{3}{x^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{3 u^{2} - 1}$$
=
$$\frac{1}{-1 + 3 \cdot 0^{2}} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{3}{x^{2}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{3}{x^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{3 u^{2} - 1}$$
=
$$\frac{1}{-1 + 3 \cdot 0^{2}} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 3\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
oo/-oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 3\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 3}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo
График