Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел sin(x)^2/x
-
Предел -x/(x-sin(x))+tan(x)
-
Предел x*cot(6*x)
- Предел x/atan(x)
- Производная:
-
x^2/(1+x^2)
- График функции y =:
-
x^2/(1+x^2)
- Интеграл d{x}:
- x^2/(1+x^2)
-
Идентичные выражения
- x^ два /(один +x^ два)
- x в квадрате делить на (1 плюс x в квадрате )
- x в степени два делить на (один плюс x в степени два)
- x2/(1+x2)
- x2/1+x2
- x²/(1+x²)
- x в степени 2/(1+x в степени 2)
- x^2/1+x^2
- x^2 разделить на (1+x^2)
-
Похожие выражения
- acos((1-x^2)/(1+x^2))
- x^2/(1-x^2)
- x^2/(1+x)^2
- (-5+x+4*x^2)/(1+x^2-2*x)
- (-1+x)^2/(1+x)^2
- (-3+x^2)/(1+x^2+x^4)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^2/(1 + x^2)
- x^2*2/(1 + x)
- x^2/((1 + x)^2)
- x^2/1 + x^2
- x*2/(1 + x^2)
- x*2*2/(1 + x)
- x^2/1 + x^2
Вы ввели:
x^2/(1+x^2)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции x^2/(1+x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \
| x |
lim |------|
x->oo| 2|
\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Limit(x^2/(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{2} + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{2} + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{2} + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{2} + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
График