Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел sin(6*x)/tan(x)
- Предел 1-cos(5*x)
- Предел -6
-
Предел (1-2*sin(x))/cos(3*x)
- Производная:
-
x+sqrt(x)
- График функции y =:
-
x+sqrt(x)
- Интеграл d{x}:
-
x+sqrt(x)
-
Идентичные выражения
- x+sqrt(x)
- x плюс квадратный корень из (x)
- x+√(x)
- x+sqrtx
-
Похожие выражения
- x+sqrt(x^2-x)
- x-sqrt(x)
Предел функции x+sqrt(x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ ___\ lim \x + \/ x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right)$$
Limit(x + sqrt(x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$\sqrt{x} - x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(\sqrt{x} + x\right)}{\sqrt{x} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(- x\right)^{2}}{\sqrt{x} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} - x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{u}}}{- \sqrt{\frac{1}{u}} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{\sqrt{\frac{1}{0}} - \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1}{0}}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$\sqrt{x} - x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(\sqrt{x} + x\right)}{\sqrt{x} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(- x\right)^{2}}{\sqrt{x} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} - x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{- \sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{u}}}{- \sqrt{\frac{1}{u}} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{\sqrt{\frac{1}{0}} - \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1}{0}}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} + x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} + x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} + x\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} + x\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} + x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} + x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} + x\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} + x\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
График