Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
- Предел (4-x)/(-16+x^2)
-
Предел atan(2/(-1+x))
- Предел 5/(1+x)
- Предел 2/n
-
Идентичные выражения
- x-acot(x)/x^ три
- x минус арккотангенс от (x) делить на x в кубе
- x минус арккотангенс от (x) делить на x в степени три
- x-acot(x)/x3
- x-acotx/x3
- x-acot(x)/x³
- x-acot(x)/x в степени 3
- x-acotx/x^3
- x-acot(x) разделить на x^3
-
Похожие выражения
- x+acot(x)/x^3
- (x-acot(x))/x^3
- x-arccot(x)/x^3
- x-arccotx/x^3
Предел функции x-acot(x)/x^3
Решение
Вы ввели
[src]
/ acot(x)\
lim |x - -------|
x->oo| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
Limit(x - acot(x)/(x^3), x, oo, dir='-')
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + \frac{1}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{2} - \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} - \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 3 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + \frac{1}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{2} - \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} - \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 3 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
График