Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел sin(3*x)/sin(7*x)
-
Предел (16-x^2)/(4-x)
-
Предел (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Предел (1-cos(4*x))/(x*sin(x))
-
Идентичные выражения
- (шестнадцать -x^ два)/(четыре -x)
- (16 минус x в квадрате ) делить на (4 минус x)
- (шестнадцать минус x в степени два) делить на (четыре минус x)
- (16-x2)/(4-x)
- 16-x2/4-x
- (16-x²)/(4-x)
- (16-x в степени 2)/(4-x)
- 16-x^2/4-x
- (16-x^2) разделить на (4-x)
-
Похожие выражения
- (16+x^2)/(4-x)
- (16-x^2)/(4+x)
Предел функции (16-x^2)/(4-x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2\
|16 - x |
lim |-------|
x->oo\ 4 - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$
Limit((16 - x^2)/(4 - x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{16}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{16}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{16 u^{2} - 1}{4 u^{2} - u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 16 \cdot 0^{2}}{\left(-1\right) 0 + 4 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{16}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{16}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{16 u^{2} - 1}{4 u^{2} - u}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 16 \cdot 0^{2}}{\left(-1\right) 0 + 4 \cdot 0^{2}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = \infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 16\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 4\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 16\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
-oo/-oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 16\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 4\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 16\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 4$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 4$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 5$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 5$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 4$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 4$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 5$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = 5$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 16}{- x + 4}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
График