Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (1+15/x)^(x/5)
-
Предел (cos(x)+sin(x))^(1/x)
-
Предел (sqrt(2)-sqrt(1+cos(x)))/sin(x)^2
-
Предел (1-x)*tan(pi*x/2)
-
Идентичные выражения
- (один + пятнадцать /x)^(x/ пять)
- (1 плюс 15 делить на x) в степени (x делить на 5)
- (один плюс пятнадцать делить на x) в степени (x делить на пять)
- (1+15/x)(x/5)
- 1+15/xx/5
- 1+15/x^x/5
- (1+15 разделить на x)^(x разделить на 5)
-
Похожие выражения
- (1-15/x)^(x/5)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 15)/x)^(x/5)
- (1 + 15/x)^(x/5)
- (1 + 15/x)^(x/5)
Вы ввели:
(1+15/x)^(x/5)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+15/x)^(x/5)
Решение
Вы ввели
[src]
x
-
5
/ 15\
lim |1 + --|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}}$$
Limit((1 + 15/x)^(x/5), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{15}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{15}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = e^{3}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 2^{\frac{4}{5}}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 2^{\frac{4}{5}}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = e^{3}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 2^{\frac{4}{5}}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = 2^{\frac{4}{5}}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{15}{x}\right)^{\frac{x}{5}} = e^{3}$$
Подробнее при x→-oo
График