Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел -1/x^2
-
Предел (1+1/z)^(-z)
-
Предел x^2
-
Предел (1-x^2)/sin(pi*x)
-
Идентичные выражения
- (один + один /z)^(-z)
- (1 плюс 1 делить на z) в степени ( минус z)
- (один плюс один делить на z) в степени ( минус z)
- (1+1/z)(-z)
- 1+1/z-z
- 1+1/z^-z
- (1+1 разделить на z)^(-z)
-
Похожие выражения
- (1+1/z)^(z)
- (1-1/z)^(-z)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 1)/z)^(-z)
- (1 + 1/z)^(-z)
- (1 + 1/z)^(-z)
Вы ввели:
(1+1/z)^(-z)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+1/z)^(-z)
Решение
Вы ввели
[src]
-z
/ 1\
lim |1 + 1*-|
z->oo\ z/
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z}$$
Limit((1 + 1/z)^(-z), z, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{z}{1}$$
тогда
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^{- z}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = e^{-1}$$
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{z}{1}$$
тогда
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^{- z}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = e^{-1}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = e^{-1}$$
$$\lim_{z \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = 1$$
Подробнее при z→0 слева
$$\lim_{z \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = 1$$
Подробнее при z→0 справа
$$\lim_{z \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = \frac{1}{2}$$
Подробнее при z→1 слева
$$\lim_{z \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = \frac{1}{2}$$
Подробнее при z→1 справа
$$\lim_{z \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = e^{-1}$$
Подробнее при z→-oo
$$\lim_{z \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = 1$$
Подробнее при z→0 слева
$$\lim_{z \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = 1$$
Подробнее при z→0 справа
$$\lim_{z \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = \frac{1}{2}$$
Подробнее при z→1 слева
$$\lim_{z \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = \frac{1}{2}$$
Подробнее при z→1 справа
$$\lim_{z \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{z}\right)^{- z} = e^{-1}$$
Подробнее при z→-oo
График