Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 1-cos(4*x)
-
Предел (1-sqrt(cos(x)))/x^2
-
Предел 1-cos(6*x)
-
Предел (1+1/n)^(3*n)
-
Идентичные выражения
- (один + один /n)^(три *n)
- (1 плюс 1 делить на n) в степени (3 умножить на n)
- (один плюс один делить на n) в степени (три умножить на n)
- (1+1/n)(3*n)
- 1+1/n3*n
- (1+1/n)^(3n)
- (1+1/n)(3n)
- 1+1/n3n
- 1+1/n^3n
- (1+1 разделить на n)^(3*n)
-
Похожие выражения
- (1-1/n)^(3*n)
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 1)/n)^(3*n)
- (1 + 1/n)^(3*n)
- (1 + 1/n)^(3*n)
Вы ввели:
(1+1/n)^(3*n)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+1/n)^(3*n)
Решение
Вы ввели
[src]
3*n
/ 1\
lim |1 + 1*-|
n->oo\ n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n}$$
Limit((1 + 1/n)^(3*n), n, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{n}{1}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = e^{3}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{n}{1}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = e^{3}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = e^{3}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 8$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 8$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = e^{3}$$
Подробнее при n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 8$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = 8$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{n}\right)^{3 n} = e^{3}$$
Подробнее при n→-oo
График