Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
- Предел 1/log(2+x)
- Предел 1-log(x)/(1+x)
-
Предел (-4+x^2)/(2+x)
-
Предел (1+2/x)^x
-
Идентичные выражения
- (один + два /x)^x
- (1 плюс 2 делить на x) в степени x
- (один плюс два делить на x) в степени x
- (1+2/x)x
- 1+2/xx
- 1+2/x^x
- (1+2 разделить на x)^x
-
Похожие выражения
- (1-2/x)^x
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 2)/x)^x
- (1 + 2/x)^x
- (1 + 2/x)^x
Вы ввели:
(1+2/x)^x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+2/x)^x
Решение
Вы ввели
[src]
x
/ 2\
lim |1 + -|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$
Limit((1 + 2/x)^x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{2}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{2}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 3$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 3$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 3$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 3$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$
Подробнее при x→-oo
График