Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 3+x^2
-
Предел (1+3*x)^(2/x)
-
Предел 5-x^2-3*x
-
Предел (1+2/n)^n
-
Идентичные выражения
- (один + два /n)^n
- (1 плюс 2 делить на n) в степени n
- (один плюс два делить на n) в степени n
- (1+2/n)n
- 1+2/nn
- 1+2/n^n
- (1+2 разделить на n)^n
-
Похожие выражения
- (1-2/n)^n
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 2)/n)^n
- (1 + 2/n)^n
- (1 + 2/n)^n
Вы ввели:
(1+2/n)^n
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+2/n)^n
Решение
Вы ввели
[src]
n
/ 2\
lim |1 + -|
n->oo\ n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$
Limit((1 + 2/n)^n, n, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{n}{2}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = e^{2}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{n}{2}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = e^{2}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = e^{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 3$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 3$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = e^{2}$$
Подробнее при n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 3$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = 3$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n} = e^{2}$$
Подробнее при n→-oo
График