Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (1-x/2)^x
-
Предел (cos(x)/(1+sin(x)))^(1/x)
-
Предел 2*atan(x)
-
Предел (1-x)/(-1+x^2)
-
Идентичные выражения
- (один -x)/(- один +x^ два)
- (1 минус x) делить на ( минус 1 плюс x в квадрате )
- (один минус x) делить на ( минус один плюс x в степени два)
- (1-x)/(-1+x2)
- 1-x/-1+x2
- (1-x)/(-1+x²)
- (1-x)/(-1+x в степени 2)
- 1-x/-1+x^2
- (1-x) разделить на (-1+x^2)
-
Похожие выражения
- (1+x)/(-1+x^2)
- (1-x)/(1+x^2)
- (1-x)/(-1-x^2)
Предел функции (1-x)/(-1+x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 1 - x \
lim |-------|
x->oo| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$
Limit((1 - x)/(-1 + x^2), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - u}{- u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0}{- 0^{2} + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - u}{- u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0}{- 0^{2} + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 1\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
-oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 1\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
График