Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел n/(1+n)
-
Предел exp(x)
-
Предел sin(pi/(2*n))
-
Предел sin(5*x)/tan(8*x)
-
Идентичные выражения
- n/(один +n)
- n делить на (1 плюс n)
- n делить на (один плюс n)
- n/1+n
- n разделить на (1+n)
-
Похожие выражения
- (2+n)/(1+n)
- n/(1-n)
- ((-1+n)/(1+n))^n
- sqrt(n)/(1+n)
- n/(1+n^2)
- (3+5*n)/(1+n)
Предел функции n/(1+n)
Решение
Вы ввели
[src]
/ n \ lim |-----| n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Limit(n/(1 + n), n, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0 + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0 + 1} = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
Подробнее при n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
Подробнее при n→-oo
График