x^2*(-x^2-9)<=9*(-x^2-9) неравенство

Дано неравенство:
$$x^{2} \left(- x^{2} - 9\right) \leq 9 \left(- x^{2} - 9\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$x^{2} \left(- x^{2} - 9\right) = 9 \left(- x^{2} - 9\right)$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x^{2} \left(- x^{2} - 9\right) = 9 \left(- x^{2} - 9\right)$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$- \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \left(x^{2} + 9\right) = 0$$
Т.к. правая часть уравнения равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части уравнения равен нулю.
Получим уравнения
$$- x + 3 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
$$x^{2} + 9 = 0$$
решаем получившиеся уравнения:
1.
$$- x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$- x = -3$$
Разделим обе части уравнения на -1

x = -3 / (-1)

Получим ответ: x_1 = 3
2.
$$x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3$$
Получим ответ: x_2 = -3
3.
$$x^{2} + 9 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 9$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 9 + 0^{2} = -36$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$x_3 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_4 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{3} = 3 i$$
Упростить
$$x_{4} = - 3 i$$
Упростить
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 3 i$$
$$x_{4} = - 3 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} \left(- x^{2} - 9\right) \leq 9 \left(- x^{2} - 9\right)$$
$$\left(- \frac{31}{10}\right)^{2} \left(- \left(- \frac{31}{10}\right)^{2} - 9\right) \leq 9 \left(- \left(- \frac{31}{10}\right)^{2} - 9\right)$$

-1788421     -16749 
--------- <= -------
  10000        100  

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -3$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -3$$
$$x \geq 3$$