(x+4)*(x-8)<=0 неравенство

Дано неравенство:
$$\left(x + 4\right) \left(x - 8\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left(x + 4\right) \left(x - 8\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x + 4\right) \left(x - 8\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 4 x - 32 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -32$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-4\right)^{2} - 1 \cdot 4 \left(-32\right) = 144$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 8$$
Упростить
$$x_{2} = -4$$
Упростить
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 4\right) \left(x - 8\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{41}{10} + 4\right) \left(\left(-1\right) 8 - \frac{41}{10}\right) \leq 0$$

121     
--- <= 0
100     

но

121     
--- >= 0
100     

Тогда
$$x \leq -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 8$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_2      x_1