(x-3)^2/x-2>0 неравенство

Дано неравенство:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} - 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} - 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} - 2 = 0$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\frac{x^{2} - 8 x + 9}{x} = 0$$
знаменатель
$$x$$
тогда

x не равен 0

Т.к. правая часть уравнения равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части уравнения равен нулю.
Получим уравнения
$$x^{2} - 8 x + 9 = 0$$
решаем получившиеся уравнения:
2.
$$x^{2} - 8 x + 9 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = 9$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 9 + \left(-8\right)^{2} = 28$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
Упростить
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 4$$
Упростить
но

x не равен 0

$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 4$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 4$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{7} + 4$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \sqrt{7} + 4\right)$$
=
$$- \sqrt{7} + \frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} - 2 > 0$$
$$\left(-1\right) 2 + \frac{\left(\left(-1\right) 3 + \left(- \sqrt{7} + \frac{39}{10}\right)\right)^{2}}{- \sqrt{7} + \frac{39}{10}} > 0$$

                 2    
     /9      ___\     
     |-- - \/ 7 |     
     \10        /     
-2 + ------------- > 0
       39     ___     
       -- - \/ 7      
       10             
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \sqrt{7} + 4$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \sqrt{7} + 4$$
$$x > \sqrt{7} + 4$$