|x^2+7*x|<4*x+10 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{x^{2} + 7 x}\right| < 4 x + 10$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{x^{2} + 7 x}\right| = 4 x + 10$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$x^{2} + 7 x \geq 0$$
или
$$\left(0 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -7 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем уравнение
$$- 4 x + \left(x^{2} + 7 x\right) - 10 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 3 x - 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -5$$
но x1 не удовлетворяет неравенству
$$x_{2} = 2$$

2.
$$x^{2} + 7 x < 0$$
или
$$-7 < x \wedge x < 0$$
получаем уравнение
$$- 4 x - \left(x^{2} + 7 x\right) - 10 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} - 11 x - 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -10$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = -1$$


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} + 7 x}\right| < 4 x + 10$$
$$\left|{7 \left(- \frac{11}{10}\right) + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}}\right| < 4 \left(- \frac{11}{10}\right) + 10$$

649       
--- < 28/5
100       

но

649       
--- > 28/5
100       

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1