|x+4|<4 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{x + 4}\right| < 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{x + 4}\right| = 4$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$x + 4 \geq 0$$
или
$$-4 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$\left(x + 4\right) - 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 0$$

2.
$$x + 4 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -4$$
получаем уравнение
$$\left(- x - 4\right) - 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 8 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -8$$


$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -8$$
Данные корни
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-8 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x + 4}\right| < 4$$
$$\left|{- \frac{81}{10} + 4}\right| < 4$$

41    
-- < 4
10    

но

41    
-- > 4
10    

Тогда
$$x < -8$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -8 \wedge x < 0$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1