|x-2|<5 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{x - 2}\right| < 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{x - 2}\right| = 5$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$\left(x - 2\right) - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - 7 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 7$$

2.
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
получаем уравнение
$$\left(- x + 2\right) - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 3 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -3$$


$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| < 5$$
$$\left|{- \frac{31}{10} - 2}\right| < 5$$

51    
-- < 5
10    

но

51    
-- > 5
10    

Тогда
$$x < -3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -3 \wedge x < 7$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1