|3-x|<=4 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{- x + 3}\right| \leq 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{- x + 3}\right| = 4$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
или
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$\left(x - 3\right) - 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - 7 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 7$$

2.
$$x - 3 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 3$$
получаем уравнение
$$\left(- x + 3\right) - 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -1$$


$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{- x + 3}\right| \leq 4$$
$$\left|{\left(-1\right) \left(- \frac{11}{10}\right) + 3}\right| \leq 4$$

41     
-- <= 4
10     

но

41     
-- >= 4
10     

Тогда
$$x \leq -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 7$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_2      x_1