Дано неравенство:
$$\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{\log{\left(49 \right)}} + \frac{\log{\left(\sqrt{7} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 8 x + 16 \right)}} \leq - \frac{3}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{\log{\left(49 \right)}} + \frac{\log{\left(\sqrt{7} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 8 x + 16 \right)}} = - \frac{3}{4}$$
Решаем:
$$x_{1} = - \frac{27}{7}$$
$$x_{2} = -4 + \frac{\sqrt{7}}{7}$$
$$x_{1} = - \frac{27}{7}$$
$$x_{2} = -4 + \frac{\sqrt{7}}{7}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{27}{7}$$
$$x_{2} = -4 + \frac{\sqrt{7}}{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{27}{7} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{277}{70}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{\log{\left(49 \right)}} + \frac{\log{\left(\sqrt{7} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 8 x + 16 \right)}} \leq - \frac{3}{4}$$
$$\frac{\log{\left(- \frac{277}{70} + 4 \right)}}{\log{\left(49 \right)}} + \frac{\log{\left(\sqrt{7} \right)}}{\log{\left(8 \left(- \frac{277}{70}\right) + \left(- \frac{277}{70}\right)^{2} + 16 \right)}} \leq - \frac{3}{4}$$
/ ___\
log(3/70) log\\/ 7 /
--------- + ----------- <= -3/4
log(49) log(9/4900)
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{27}{7}$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x_1 x_2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{27}{7}$$
$$x \geq -4 + \frac{\sqrt{7}}{7}$$