cos(x)

+ неравенство

Решить неравенство!

В неравенстве неизвестная

Решение

Вы ввели [src]

cos(x) < sin(x)

$$\cos{\left(x \right)} < \sin{\left(x \right)}$$

cos(x) < sin(x)

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} < \sin{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$
преобразуем:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = -1$$
или
$$- \tan{\left(x \right)} = -1$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Разделим обе части уравнения на $-1$
уравнение превратится в
$$\tan{\left(x \right)} = -1$$
Это уравнение преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
Или
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < \sin{\left(x \right)}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} < \sin{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}$$

    n    /1    pi\        n    /1    pi\
(-1) *cos|-- + --| < -(-1) *sin|-- + --|
         \10   4 /             \10   4 /

значит решение неравенства будет при:
$$x < \pi n - \frac{\pi}{4}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x_1

Решение неравенства на графике

Быстрый ответ 2 [src]

 pi  5*pi 
(--, ----)
 4    4   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$$

x in Interval.open(pi/4, 5*pi/4)

Быстрый ответ [src]

   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \4            4  /

$$\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{4}$$

(pi/4 < x)∧(x < 5*pi/4)

График