Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Неравенство:
-
x^2-3*x<0
-
(x^2-5*x+6)/(x+1)<=0
-
4-9*x^2>=0
-
cos(x)<-3/4
- Производная:
-
cos(x)
- -3/4
- График функции y =:
-
cos(x)
- Предел функции:
-
cos(x)
-
Идентичные выражения
- cos(x)<- три / четыре
- косинус от (x) меньше минус 3 делить на 4
- косинус от (x) меньше минус три делить на четыре
- cosx<-3/4
- cos(x)<-3 разделить на 4
-
Похожие выражения
- log((x-4)^2*(x-3)/48)^2/(log(5)^2)>log(x-1)^2/log(5)
- cos(x)<+3/4
- cosx<-3/4
cos(x)<-3/4 неравенство
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{3}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{3}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{3}{4}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{3}{4}$$
$$\cos{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)} \right)} < - \frac{3}{4}$$
но
Тогда
$$x < 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)} \wedge x < 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{3}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{3}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{3}{4}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} < - \frac{3}{4}$$
$$\cos{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)} \right)} < - \frac{3}{4}$$
cos(1/10 - acos(-3/4)) < -3/4
но
cos(1/10 - acos(-3/4)) > -3/4
Тогда
$$x < 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)} \wedge x < 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x_1 x_2
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[src]
/ / ___\ / ___\ \ | |\/ 7 | |\/ 7 | | And|x < pi + atan|-----|, pi - atan|-----| < x| \ \ 3 / \ 3 / /
$$x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)} + \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)} + \pi < x$$
(x < pi + atan(sqrt(7)/3))∧(pi - atan(sqrt(7)/3) < x)
Быстрый ответ 2
[src]
/ ___\ / ___\
|\/ 7 | |\/ 7 |
(pi - atan|-----|, pi + atan|-----|)
\ 3 / \ 3 /
$$x\ in\ \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)} + \pi, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)} + \pi\right)$$
x in Interval.open(pi - atan(sqrt(7)/3), atan(sqrt(7)/3) + pi)
График