25^x-3*5^x-10>0 неравенство

Дано неравенство:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 = 0$$
или
$$\left(25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} - 3 v - 10 = 0$$
или
$$v^{2} - 3 v - 10 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -10$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-3\right)^{2} - 1 \cdot 4 \left(-10\right) = 49$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 5$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 > 0$$
$$\left(-1\right) 10 - \frac{3}{5^{\frac{21}{10}}} + \frac{1}{25^{\frac{21}{10}}} > 0$$

         9/10    4/5    
      3*5       5       
-10 - ------- + ---- > 0
        125     3125    
    

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 \wedge x < 5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1