2*x^2>=|x^2-x|+2 неравенство

Дано неравенство:
$$2 x^{2} \geq \left|{x^{2} - x}\right| + 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$2 x^{2} = \left|{x^{2} - x}\right| + 2$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$x^{2} - x \geq 0$$
или
$$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 0 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем уравнение
$$2 x^{2} - \left(x^{2} - x\right) - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$

2.
$$x^{2} - x < 0$$
или
$$0 < x \wedge x < 1$$
получаем уравнение
$$2 x^{2} - \left(- x^{2} + x\right) - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$3 x^{2} - x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = - \frac{2}{3}$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = 1$$
но x4 не удовлетворяет неравенству


$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 x^{2} \geq \left|{x^{2} - x}\right| + 2$$
$$2 \left(- \frac{21}{10}\right)^{2} \geq 2 + \left|{\left(-1\right) \left(- \frac{21}{10}\right) + \left(- \frac{21}{10}\right)^{2}}\right|$$

441    851
--- >= ---
 50    100

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -2$$
$$x \geq 1$$