Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3+16*x^2+64*x+3
-
x^4-8*x^2+16
-
x^22
-
sqrt(cos(x))
-
Идентичные выражения
- x^ три + шестнадцать *x^ два + шестьдесят четыре *x+ три
- x в кубе плюс 16 умножить на x в квадрате плюс 64 умножить на x плюс 3
- x в степени три плюс шестнадцать умножить на x в степени два плюс шестьдесят четыре умножить на x плюс три
- x3+16*x2+64*x+3
- x³+16*x²+64*x+3
- x в степени 3+16*x в степени 2+64*x+3
- x^3+16x^2+64x+3
- x3+16x2+64x+3
-
Похожие выражения
- x^3+16*x^2-64*x+3
- x^3+16*x^2+64*x-3
- x^3-16*x^2+64*x+3
График функции y = x^3+16*x^2+64*x+3
Решение
Вы ввели
[src]
3 2 f(x) = x + 16*x + 64*x + 3
$$f{\left(x \right)} = x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3$$
f = x^3 + 16*x^2 + 64*x + 3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{16}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{943}{54} + \frac{\sqrt{1967} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{943}{54} + \frac{\sqrt{1967} i}{6}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -7.36162820965041$$
$$x_{2} = -8.59093591763195$$
$$x_{3} = -0.0474358727176334$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{16}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{943}{54} + \frac{\sqrt{1967} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{943}{54} + \frac{\sqrt{1967} i}{6}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -7.36162820965041$$
$$x_{2} = -8.59093591763195$$
$$x_{3} = -0.0474358727176334$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + 32 x + 64 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = - \frac{8}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{8}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -8$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -8\right] \cup \left[- \frac{8}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-8, - \frac{8}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + 32 x + 64 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = - \frac{8}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-8, 3)
-1967
(-8/3, ------)
27 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{8}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -8$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -8\right] \cup \left[- \frac{8}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-8, - \frac{8}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x + 16\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{16}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{16}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{16}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x + 16\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{16}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{16}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{16}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 16*x^2 + 64*x + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3 = - x^{3} + 16 x^{2} - 64 x + 3$$
- Нет
$$x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3 = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3 = - x^{3} + 16 x^{2} - 64 x + 3$$
- Нет
$$x^{3} + 16 x^{2} + 64 x + 3 = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График