Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(log(cos(x)^(2)))
-
x/(sin(x))
-
x^3+4/x^2
-
x^3-4*x^2+3*x
- Производная:
- x^3+4/x^2
-
Идентичные выражения
- x^ три + четыре /x^ два
- x в кубе плюс 4 делить на x в квадрате
- x в степени три плюс четыре делить на x в степени два
- x3+4/x2
- x³+4/x²
- x в степени 3+4/x в степени 2
- x^3+4 разделить на x^2
-
Похожие выражения
- (x^3+4)/x^2
- x^(3+4)/x^2
- (x^3+4)/(x^2)
- (x^3+4)/(x^2-4)
- x^3-4/x^2
- (x^3+4)/(x^2-1)
-
Что Вы имели ввиду?
- (x^3 + 4)/(x^2)
- (x^3 + 4)*2/x
- (x^3 + 4)/(x^2)
- x*(3 + 4)/(x^2)
- x*(3 + 4)*2/x
- x*(3 + 4)/(x^2)
- x^3 + 4/(x^2)
Вы ввели:
x^3+4/x^2
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3+4/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
3 4
f(x) = x + --
2
x
$$f{\left(x \right)} = x^{3} + \frac{4}{x^{2}}$$
f = x^3 + 4/(x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{5}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.31950791077289$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{5}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.31950791077289$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
3/5 4/5 4/5 2/5
2 *3 5*2 *3
(---------, -----------)
3 3 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x + \frac{4}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{5}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x + \frac{4}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x + \frac{4}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2^{\frac{2}{5}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{5}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x + \frac{4}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{5}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x + \frac{4}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x + \frac{4}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2^{\frac{2}{5}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{5}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{4}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{4}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{4}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{4}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 4/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \frac{4}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = - x^{3} + \frac{4}{x^{2}}$$
- Нет
$$x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = - x^{3} + \frac{4}{x^{2}}$$
- Нет
$$x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График