Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2*x^3-6*x^2-4
- 3*log(x)/sqrt(x)
-
5/2*x
- x/tan(x)
-
Идентичные выражения
- x^ три - пятнадцать *x^ два +(сто сорок пять / два)*x-(двести двадцать пять / два)
- x в кубе минус 15 умножить на x в квадрате плюс (145 делить на 2) умножить на x минус (225 делить на 2)
- x в степени три минус пятнадцать умножить на x в степени два плюс (сто сорок пять делить на два) умножить на x минус (двести двадцать пять делить на два)
- x3-15*x2+(145/2)*x-(225/2)
- x3-15*x2+145/2*x-225/2
- x³-15*x²+(145/2)*x-(225/2)
- x в степени 3-15*x в степени 2+(145/2)*x-(225/2)
- x^3-15x^2+(145/2)x-(225/2)
- x3-15x2+(145/2)x-(225/2)
- x3-15x2+145/2x-225/2
- x^3-15x^2+145/2x-225/2
- x^3-15*x^2+(145 разделить на 2)*x-(225 разделить на 2)
-
Похожие выражения
- x^3-15*x^2-(145/2)*x-(225/2)
- x^3+15*x^2+(145/2)*x-(225/2)
- x^3-15*x^2+(145/2)*x+(225/2)
График функции y = x^3-15*x^2+(145/2)*x-(225/2)
Решение
Вы ввели
[src]
3 2 145*x
f(x) = x - 15*x + ----- - 225/2
2
$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}$$
f = x^3 - 15*x^2 + 145*x/2 - 1*225/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + 5$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} + 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.41886116991581$$
$$x_{2} = 6.58113883008419$$
$$x_{3} = 5$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + 5$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} + 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.41886116991581$$
$$x_{2} = 6.58113883008419$$
$$x_{3} = 5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 30 x + \frac{145}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6} + 5\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6} + 5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6} + 5, \frac{\sqrt{30}}{6} + 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 30 x + \frac{145}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
Зн. экстремумы в точках:
2 3
____ / ____ \ ____ / ____ \
\/ 30 | \/ 30 | 225 145*\/ 30 | \/ 30 | 725
(- ------ + 5, - 15*|- ------ + 5| - --- - ---------- + |- ------ + 5| + ---)
6 \ 6 / 2 12 \ 6 / 2 2 3 ____ / ____ \ ____ / ____ \ \/ 30 |\/ 30 | 225 145*\/ 30 |\/ 30 | 725 (------ + 5, - 15*|------ + 5| - --- + ---------- + |------ + 5| + ---) 6 \ 6 / 2 12 \ 6 / 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6} + 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6} + 5\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6} + 5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6} + 5, \frac{\sqrt{30}}{6} + 5\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 5$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 5$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 15*x^2 + 145*x/2 - 1*225/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2} = - x^{3} - 15 x^{2} - \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}$$
- Нет
$$x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2} = x^{3} + 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} + \frac{225}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2} = - x^{3} - 15 x^{2} - \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2}$$
- Нет
$$x^{3} - 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} - \frac{225}{2} = x^{3} + 15 x^{2} + \frac{145 x}{2} + \frac{225}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График