Господин Экзамен

Другие калькуляторы


x^3/3+x^2-3*x+1

Вы ввели:

x^3/3+x^2-3*x+1

Что Вы имели ввиду?

График функции y = x^3/3+x^2-3*x+1

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
        3               
       x     2          
f(x) = -- + x  - 3*x + 1
       3                
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1$$
f = x^3/3 + x^2 - 3*x + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{189 + 27 \sqrt{15} i}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{189 + 27 \sqrt{15} i}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.390906302031543$$
$$x_{2} = 1.55247461053107$$
$$x_{3} = -4.94338091256262$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 + x^2 - 3*x + 1.
$$\frac{0^{3}}{3} + 0^{2} - 3 \cdot 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + 2 x - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 10)

(1, -2/3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + x^2 - 3*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1 = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 3 x + 1$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + 1 = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3/3+x^2-3*x+1