Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(x)^(2)
- (|x-5|)
-
x^2*(log(x))
- (x-1)/(sqrt(x))
-
Идентичные выражения
- x^ три / три +x^ два - три *x
- x в кубе делить на 3 плюс x в квадрате минус 3 умножить на x
- x в степени три делить на три плюс x в степени два минус три умножить на x
- x3/3+x2-3*x
- x³/3+x²-3*x
- x в степени 3/3+x в степени 2-3*x
- x^3/3+x^2-3x
- x3/3+x2-3x
- x^3 разделить на 3+x^2-3*x
-
Похожие выражения
- x^3/3+x^2+3*x
- x^3/3-x^2-3*x
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/3 + x^2 - 3*x
- x^1 + x^2 - 3*x
- x^((1 + x)^2) - 3*x
- x^((3/(3 + x))^2) - 3*x
- x^3/(3 + x^2 - 3*x)
- x^3*x/(3 + x^2 - 1*3)
- x^3/((3 + x)^2) - 3*x
Вы ввели:
x^3/3+x^2-3*x
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/3+x^2-3*x
Решение
Вы ввели
[src]
3
x 2
f(x) = -- + x - 3*x
3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x$$
f = x^3/3 + x^2 - 3*x
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} - \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -4.85410196624968$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.85410196624968$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} - \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -4.85410196624968$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.85410196624968$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + 2 x - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + 2 x - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 9)
(1, -5/3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + x^2 - 3*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 3 x$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 3 x$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График