Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
-
Идентичные выражения
- x^ пятнадцать *(x^ два - один)
- x в степени 15 умножить на (x в квадрате минус 1)
- x в степени пятнадцать умножить на (x в степени два минус один)
- x15*(x2-1)
- x15*x2-1
- x^15*(x²-1)
- x в степени 15*(x в степени 2-1)
- x^15(x^2-1)
- x15(x2-1)
- x15x2-1
- x^15x^2-1
-
Похожие выражения
- x^15*(x^2+1)
График функции y = x^15*(x^2-1)
Решение
Вы ввели
[src]
15 / 2 \ f(x) = x *\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = x^{15} \left(x^{2} - 1\right)$$
f = x^15*(x^2 - 1*1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{15} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{15} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x^{16} + 15 x^{14} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{255}}{17}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{255}}{17}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{255}}{17}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{255}}{17}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{255}}{17}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{255}}{17}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{255}}{17}, \frac{\sqrt{255}}{17}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x^{16} + 15 x^{14} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{255}}{17}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{255}}{17}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
_____ / 15\
_____ -170859375*\/ 255 *|-1 + --|
-\/ 255 \ 17/
(---------, -----------------------------)
17 6975757441 _____ / 15\
_____ 170859375*\/ 255 *|-1 + --|
\/ 255 \ 17/
(-------, ---------------------------)
17 6975757441 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{255}}{17}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{255}}{17}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{255}}{17}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{255}}{17}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{255}}{17}, \frac{\sqrt{255}}{17}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x^{13} \cdot \left(136 x^{2} - 105\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3570}}{68}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3570}}{68}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3570}}{68}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3570}}{68}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3570}}{68}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{3570}}{68}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x^{13} \cdot \left(136 x^{2} - 105\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3570}}{68}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3570}}{68}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3570}}{68}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3570}}{68}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3570}}{68}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{3570}}{68}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{15} \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{15} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{15} \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{15} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^15*(x^2 - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{14} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{14} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{14} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{14} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{15} \left(x^{2} - 1\right) = - x^{15} \left(x^{2} - 1\right)$$
- Нет
$$x^{15} \left(x^{2} - 1\right) = x^{15} \left(x^{2} - 1\right)$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{15} \left(x^{2} - 1\right) = - x^{15} \left(x^{2} - 1\right)$$
- Нет
$$x^{15} \left(x^{2} - 1\right) = x^{15} \left(x^{2} - 1\right)$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График