Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x^2+x+677)/(x-5)
- (x^2+15)/(x+4)
- 10-3*x-x^2
- sqrt(12+x^2-4*x)/(x+1)
-
Идентичные выражения
- x^ два *(x- четыре)^ два / шестнадцать
- x в квадрате умножить на (x минус 4) в квадрате делить на 16
- x в степени два умножить на (x минус четыре) в степени два делить на шестнадцать
- x2*(x-4)2/16
- x2*x-42/16
- x²*(x-4)²/16
- x в степени 2*(x-4) в степени 2/16
- x^2(x-4)^2/16
- x2(x-4)2/16
- x2x-42/16
- x^2x-4^2/16
- x^2*(x-4)^2 разделить на 16
-
Похожие выражения
- x^2*(x+4)^2/16
-
Что Вы имели ввиду?
- x^2*(x - 1*4)^2/16
- x^2*(x - 1*4)^(1/8)
- x^2*(x - 1*4)^(1/8)
Вы ввели:
x^2*(x-4)^2/16
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^2*(x-4)^2/16
Решение
Вы ввели
[src]
2 2
x *(x - 4)
f(x) = -----------
16
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16}$$
f = x^2*(x - 1*4)^2/16
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{2} \cdot \left(2 x - 8\right)}{16} + \frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{2} \cdot \left(2 x - 8\right)}{16} + \frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
2
(-4 + 2)
(2, ---------)
4 2 (4, (-4 + 4) )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{2} + 4 x \left(x - 4\right) + \left(x - 4\right)^{2}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{2} + 4 x \left(x - 4\right) + \left(x - 4\right)^{2}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(x - 1*4)^2/16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16} = \frac{x^{2} \left(- x - 4\right)^{2}}{16}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16} = - \frac{x^{2} \left(- x - 4\right)^{2}}{16}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16} = \frac{x^{2} \left(- x - 4\right)^{2}}{16}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}{16} = - \frac{x^{2} \left(- x - 4\right)^{2}}{16}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График