Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(x)^(2)
- (|x-5|)
-
x^2*(log(x))
- (x-1)/(sqrt(x))
-
Идентичные выражения
- (x^ два - три *x)/(x^ два - четыре)
- (x в квадрате минус 3 умножить на x) делить на (x в квадрате минус 4)
- (x в степени два минус три умножить на x) делить на (x в степени два минус четыре)
- (x2-3*x)/(x2-4)
- x2-3*x/x2-4
- (x²-3*x)/(x²-4)
- (x в степени 2-3*x)/(x в степени 2-4)
- (x^2-3x)/(x^2-4)
- (x2-3x)/(x2-4)
- x2-3x/x2-4
- x^2-3x/x^2-4
- (x^2-3*x) разделить на (x^2-4)
-
Похожие выражения
- (x^2+3*x)/(x^2-4)
- (x^2-3*x)/(x^2+4)
График функции y = (x^2-3*x)/(x^2-4)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 3*x
f(x) = --------
2
x - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}$$
f = (x^2 - 3*x)/(x^2 - 1*4)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x^{2} - 3 x\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x^{2} - 3 x\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -2$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -2$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x)/(x^2 - 1*4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 4} = - \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График