Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*exp(x^2)
-
1/2*x^4+16*x
-
(x^2-15*x+15)*e^(x+3)
-
(x^2-1)/(x^2+1)-x^2
-
Идентичные выражения
- (x^ два - один)/(x^ два + один)-x^ два
- (x в квадрате минус 1) делить на (x в квадрате плюс 1) минус x в квадрате
- (x в степени два минус один) делить на (x в степени два плюс один) минус x в степени два
- (x2-1)/(x2+1)-x2
- x2-1/x2+1-x2
- (x²-1)/(x²+1)-x²
- (x в степени 2-1)/(x в степени 2+1)-x в степени 2
- x^2-1/x^2+1-x^2
- (x^2-1) разделить на (x^2+1)-x^2
-
Похожие выражения
- (x^2-1)/(x^2-1)-x^2
- (x^2+1)/(x^2+1)-x^2
- (x^2-1)/(x^2+1)+x^2
График функции y = (x^2-1)/(x^2+1)-x^2
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 1 2
f(x) = ------ - x
2
x + 1
$$f{\left(x \right)} = - x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$
f = -x^2 + (x^2 - 1*1)/(x^2 + 1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 x + \frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{3} = \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{1} = \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{-1 + \sqrt{2}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 x + \frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{3} = \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1*1)
____________ ___ / ___\
/ ___ ___ \/ 2 *\-1 - 1 + \/ 2 /
(-\/ -1 + \/ 2 , - \/ 2 + ---------------------- + 1)
2 ____________ ___ / ___\
/ ___ ___ \/ 2 *\-1 - 1 + \/ 2 /
(\/ -1 + \/ 2 , - \/ 2 + ---------------------- + 1)
2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
$$x_{1} = \sqrt{-1 + \sqrt{2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{-1 + \sqrt{2}}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - 1 - \frac{x^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -0.327334025783041$$
$$x_{2} = 0.327334025783041$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-0.327334025783041, 0.327334025783041\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -0.327334025783041\right] \cup \left[0.327334025783041, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} - \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - 1 - \frac{x^{2} - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -0.327334025783041$$
$$x_{2} = 0.327334025783041$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-0.327334025783041, 0.327334025783041\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -0.327334025783041\right] \cup \left[0.327334025783041, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*1)/(x^2 + 1) - x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = - x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$
- Да
$$- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = x^{2} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = - x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$
- Да
$$- x^{2} + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = x^{2} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График