Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(x)-4
-
3-cos(2*x)
-
1/6*x^3-2*x
-
sin(x^4)
-
Идентичные выражения
- (x^ два - четыре)/(x^ два + девять)
- (x в квадрате минус 4) делить на (x в квадрате плюс 9)
- (x в степени два минус четыре) делить на (x в степени два плюс девять)
- (x2-4)/(x2+9)
- x2-4/x2+9
- (x²-4)/(x²+9)
- (x в степени 2-4)/(x в степени 2+9)
- x^2-4/x^2+9
- (x^2-4) разделить на (x^2+9)
-
Похожие выражения
- (x^2+4)/(x^2+9)
- (x^2-4)/(x^2-9)
График функции y = (x^2-4)/(x^2+9)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 4
f(x) = ------
2
x + 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}$$
f = (x^2 - 1*4)/(x^2 + 9)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -4/9)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} + \frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)}{x^{2} + 9} + 1\right)}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} + \frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)}{x^{2} + 9} + 1\right)}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*4)/(x^2 + 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9} = - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9} = - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График