Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3)+(3*x^2)-4
-
x^4-2*x^3+6*x-4
-
12*x-5
-
(x-3)*e^-x
-
Идентичные выражения
- x^ четыре - два *x^ три + шесть *x- четыре
- x в степени 4 минус 2 умножить на x в кубе плюс 6 умножить на x минус 4
- x в степени четыре минус два умножить на x в степени три плюс шесть умножить на x минус четыре
- x4-2*x3+6*x-4
- x⁴-2*x³+6*x-4
- x в степени 4-2*x в степени 3+6*x-4
- x^4-2x^3+6x-4
- x4-2x3+6x-4
-
Похожие выражения
- x^4-2*x^3+6*x+4
- x^4+2*x^3+6*x-4
- x^4-2*x^3-6*x-4
График функции y = x^4-2*x^3+6*x-4
Решение
Вы ввели
[src]
4 3 f(x) = x - 2*x + 6*x - 4
$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4$$
f = x^4 - 2*x^3 + 6*x - 1*4
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 2 + \frac{10}{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 2 + \frac{10}{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}{2} + \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.756351042296715$$
$$x_{2} = -1.55343040042452$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 2 + \frac{10}{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 2 + \frac{10}{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}{2} + \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.756351042296715$$
$$x_{2} = -1.55343040042452$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
4 3
________________ / ________________ \ / ________________ \
/ ___ | / ___ | | / ___ |
/ 27*\/ 6 135 ________________ | / 27*\/ 6 135 | | / 27*\/ 6 135 |
3 / -------- + --- / ___ | 3 / -------- + --- | | 3 / -------- + --- |
\/ 4 8 3 1 / 27*\/ 6 135 9 | \/ 4 8 3 1| | \/ 4 8 3 1|
(- --------------------- - ----------------------- + -, - 2*3 / -------- + --- - 4 - ----------------------- + |- --------------------- - ----------------------- + -| - 2*|- --------------------- - ----------------------- + -| + 3)
3 ________________ 2 \/ 4 8 ________________ | 3 ________________ 2| | 3 ________________ 2|
/ ___ / ___ | / ___ | | / ___ |
/ 27*\/ 6 135 / 27*\/ 6 135 | / 27*\/ 6 135 | | / 27*\/ 6 135 |
4*3 / -------- + --- 2*3 / -------- + --- | 4*3 / -------- + --- | | 4*3 / -------- + --- |
\/ 4 8 \/ 4 8 \ \/ 4 8 / \ \/ 4 8 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 x \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 2*x^3 + 6*x - 1*4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 4$$
- Нет
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = - x^{4} - 2 x^{3} + 6 x + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 4$$
- Нет
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = - x^{4} - 2 x^{3} + 6 x + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График