Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
6*x-8*x^2
-
x^3+2*x^2-9*x-18
-
7+6*x-x^2
-
(x+1)^2/(x-2)
- Производная:
- (x+1)^2/(x-2)
-
Идентичные выражения
- (x+ один)^ два /(x- два)
- (x плюс 1) в квадрате делить на (x минус 2)
- (x плюс один) в степени два делить на (x минус два)
- (x+1)2/(x-2)
- x+12/x-2
- (x+1)²/(x-2)
- (x+1) в степени 2/(x-2)
- x+1^2/x-2
- (x+1)^2 разделить на (x-2)
-
Похожие выражения
- 2*(x+1)^2/x-2
- (x-1)^2/(x-2)
- (x+1)^2/(x+2)
- ((x+1)^2)/(x-2)
- ((x+1)^2)/x-2
График функции y = (x+1)^2/(x-2)
Решение
Вы ввели
[src]
2
(x + 1)
f(x) = --------
x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2}$$
f = (x + 1)^2/(x - 1*2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00000132547004$$
$$x_{2} = -1.0000006697916$$
$$x_{3} = -1.00000132908671$$
$$x_{4} = -1.00000141930909$$
$$x_{5} = -1.00000133122947$$
$$x_{6} = -1.00000154827042$$
$$x_{7} = -1.00000120394308$$
$$x_{8} = -1.00000142109737$$
$$x_{9} = -1.00000111645089$$
$$x_{10} = -1.00000131446785$$
$$x_{11} = -1.00000107877543$$
$$x_{12} = -1.00000130048373$$
$$x_{13} = -0.999999154657544$$
$$x_{14} = -1.00000171717037$$
$$x_{15} = -1.00000149818648$$
$$x_{16} = -1.000001278479$$
$$x_{17} = -1.00000143008097$$
$$x_{18} = -1.00000131040946$$
$$x_{19} = -1.00000146673407$$
$$x_{20} = -1.000001434477$$
$$x_{21} = -1.00000143293262$$
$$x_{22} = -1.00000142204972$$
$$x_{23} = -1.00000129432607$$
$$x_{24} = -1.00000102837189$$
$$x_{25} = -1.00000133664784$$
$$x_{26} = -1.00000114567948$$
$$x_{27} = -1.00000145079248$$
$$x_{28} = -1.00000085038662$$
$$x_{29} = -1.00000126195155$$
$$x_{30} = -1.00000156371314$$
$$x_{31} = -1.00000131970812$$
$$x_{32} = -1.0000014378377$$
$$x_{33} = -1.00000150571101$$
$$x_{34} = -1.00000151423371$$
$$x_{35} = -1.0000014535098$$
$$x_{36} = -1.00000118807845$$
$$x_{37} = -1.00000128298292$$
$$x_{38} = -1.00000146301607$$
$$x_{39} = -1.00000132673451$$
$$x_{40} = -1.00000144589993$$
$$x_{41} = -1.0000014263118$$
$$x_{42} = -1.0000015239673$$
$$x_{43} = -1.00000124747317$$
$$x_{44} = -1.00000132126564$$
$$x_{45} = -1.0000013180614$$
$$x_{46} = -1.0000012288349$$
$$x_{47} = -1.00000125514016$$
$$x_{48} = -1.00000149149447$$
$$x_{49} = -1.00000133583522$$
$$x_{50} = -1.00000142304433$$
$$x_{51} = -1.00000142750702$$
$$x_{52} = -1.00000131250222$$
$$x_{53} = -1.00000160480703$$
$$x_{54} = -1.00000128709387$$
$$x_{55} = -1.00000132793867$$
$$x_{56} = -1.00000127352292$$
$$x_{57} = -1.00000163298623$$
$$x_{58} = -1.00000144161747$$
$$x_{59} = -1.00000133410825$$
$$x_{60} = -1.00000147078891$$
$$x_{61} = -1.00000121735217$$
$$x_{62} = -1.00000188396895$$
$$x_{63} = -1.0000015351896$$
$$x_{64} = -1.0000014436898$$
$$x_{65} = -1.00000144826207$$
$$x_{66} = -1.00000029822544$$
$$x_{67} = -1.00000116901575$$
$$x_{68} = -1.00000142408406$$
$$x_{69} = -1.00000147522851$$
$$x_{70} = -1.00000133498939$$
$$x_{71} = -1.00000130817681$$
$$x_{72} = -1.00000142876188$$
$$x_{73} = -1.00000131631759$$
$$x_{74} = -1.00000129086113$$
$$x_{75} = -1.00000132414058$$
$$x_{76} = -1.00000145959459$$
$$x_{77} = -1.00000148011037$$
$$x_{78} = -1.00000143610945$$
$$x_{79} = -1.00000148550404$$
$$x_{80} = -1.00000129752367$$
$$x_{81} = -1.00000143146935$$
$$x_{82} = -1.00000130578978$$
$$x_{83} = -1.00000130323177$$
$$x_{84} = -1.00000143967045$$
$$x_{85} = -1.00000133318956$$
$$x_{86} = -1.0000017841392$$
$$x_{87} = -1.00000123877856$$
$$x_{88} = -1.00000142517208$$
$$x_{89} = -1.00000095747583$$
$$x_{90} = -1.00000133223085$$
$$x_{91} = -1.00000158222097$$
$$x_{92} = -1.00000133018248$$
$$x_{93} = -1.00000166912986$$
$$x_{94} = -1.00000145643552$$
$$x_{95} = -1.00000132274102$$
$$x_{96} = -1.000001268043$$
$$x_{97} = -1.00000142018463$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00000132547004$$
$$x_{2} = -1.0000006697916$$
$$x_{3} = -1.00000132908671$$
$$x_{4} = -1.00000141930909$$
$$x_{5} = -1.00000133122947$$
$$x_{6} = -1.00000154827042$$
$$x_{7} = -1.00000120394308$$
$$x_{8} = -1.00000142109737$$
$$x_{9} = -1.00000111645089$$
$$x_{10} = -1.00000131446785$$
$$x_{11} = -1.00000107877543$$
$$x_{12} = -1.00000130048373$$
$$x_{13} = -0.999999154657544$$
$$x_{14} = -1.00000171717037$$
$$x_{15} = -1.00000149818648$$
$$x_{16} = -1.000001278479$$
$$x_{17} = -1.00000143008097$$
$$x_{18} = -1.00000131040946$$
$$x_{19} = -1.00000146673407$$
$$x_{20} = -1.000001434477$$
$$x_{21} = -1.00000143293262$$
$$x_{22} = -1.00000142204972$$
$$x_{23} = -1.00000129432607$$
$$x_{24} = -1.00000102837189$$
$$x_{25} = -1.00000133664784$$
$$x_{26} = -1.00000114567948$$
$$x_{27} = -1.00000145079248$$
$$x_{28} = -1.00000085038662$$
$$x_{29} = -1.00000126195155$$
$$x_{30} = -1.00000156371314$$
$$x_{31} = -1.00000131970812$$
$$x_{32} = -1.0000014378377$$
$$x_{33} = -1.00000150571101$$
$$x_{34} = -1.00000151423371$$
$$x_{35} = -1.0000014535098$$
$$x_{36} = -1.00000118807845$$
$$x_{37} = -1.00000128298292$$
$$x_{38} = -1.00000146301607$$
$$x_{39} = -1.00000132673451$$
$$x_{40} = -1.00000144589993$$
$$x_{41} = -1.0000014263118$$
$$x_{42} = -1.0000015239673$$
$$x_{43} = -1.00000124747317$$
$$x_{44} = -1.00000132126564$$
$$x_{45} = -1.0000013180614$$
$$x_{46} = -1.0000012288349$$
$$x_{47} = -1.00000125514016$$
$$x_{48} = -1.00000149149447$$
$$x_{49} = -1.00000133583522$$
$$x_{50} = -1.00000142304433$$
$$x_{51} = -1.00000142750702$$
$$x_{52} = -1.00000131250222$$
$$x_{53} = -1.00000160480703$$
$$x_{54} = -1.00000128709387$$
$$x_{55} = -1.00000132793867$$
$$x_{56} = -1.00000127352292$$
$$x_{57} = -1.00000163298623$$
$$x_{58} = -1.00000144161747$$
$$x_{59} = -1.00000133410825$$
$$x_{60} = -1.00000147078891$$
$$x_{61} = -1.00000121735217$$
$$x_{62} = -1.00000188396895$$
$$x_{63} = -1.0000015351896$$
$$x_{64} = -1.0000014436898$$
$$x_{65} = -1.00000144826207$$
$$x_{66} = -1.00000029822544$$
$$x_{67} = -1.00000116901575$$
$$x_{68} = -1.00000142408406$$
$$x_{69} = -1.00000147522851$$
$$x_{70} = -1.00000133498939$$
$$x_{71} = -1.00000130817681$$
$$x_{72} = -1.00000142876188$$
$$x_{73} = -1.00000131631759$$
$$x_{74} = -1.00000129086113$$
$$x_{75} = -1.00000132414058$$
$$x_{76} = -1.00000145959459$$
$$x_{77} = -1.00000148011037$$
$$x_{78} = -1.00000143610945$$
$$x_{79} = -1.00000148550404$$
$$x_{80} = -1.00000129752367$$
$$x_{81} = -1.00000143146935$$
$$x_{82} = -1.00000130578978$$
$$x_{83} = -1.00000130323177$$
$$x_{84} = -1.00000143967045$$
$$x_{85} = -1.00000133318956$$
$$x_{86} = -1.0000017841392$$
$$x_{87} = -1.00000123877856$$
$$x_{88} = -1.00000142517208$$
$$x_{89} = -1.00000095747583$$
$$x_{90} = -1.00000133223085$$
$$x_{91} = -1.00000158222097$$
$$x_{92} = -1.00000133018248$$
$$x_{93} = -1.00000166912986$$
$$x_{94} = -1.00000145643552$$
$$x_{95} = -1.00000132274102$$
$$x_{96} = -1.000001268043$$
$$x_{97} = -1.00000142018463$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)
36
(5, ------)
-2 + 5 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 5\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^2/(x - 1*2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2} = \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2} = \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x - 2} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График