Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
7-x^2
-
(x+1)/(x^2-9)
-
x^2+8*x+10
-
x^3-3*x^2-9*x
-
Идентичные выражения
- (x+ один)/(x^ два - девять)
- (x плюс 1) делить на (x в квадрате минус 9)
- (x плюс один) делить на (x в степени два минус девять)
- (x+1)/(x2-9)
- x+1/x2-9
- (x+1)/(x²-9)
- (x+1)/(x в степени 2-9)
- x+1/x^2-9
- (x+1) разделить на (x^2-9)
-
Похожие выражения
- (3*x+1)/(x^2-9)
- (x-1)/(x^2-9)
- (x+1)/(x^2+9)
График функции y = (x+1)/(x^2-9)
Решение
Вы ввели
[src]
x + 1
f(x) = ------
2
x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$$
f = (x + 1)/(x^2 - 1*9)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- 2 \cdot \sqrt[3]{2} - 1 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{- x + 1}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = - \frac{- x + 1}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{- x + 1}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{x^{2} - 9} = - \frac{- x + 1}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График