Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(x+2)/(x^2+5)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (cos(x))^2
  • |x|+1
  • (x^2-9)
  • 7*cos(2*x)+5

  • Идентичные выражения

  • (x+ два)/(x^ два + пять)
  • (x плюс 2) делить на (x в квадрате плюс 5)
  • (x плюс два) делить на (x в степени два плюс пять)
  • (x+2)/(x2+5)
  • x+2/x2+5
  • (x+2)/(x²+5)
  • (x+2)/(x в степени 2+5)
  • x+2/x^2+5
  • (x+2) разделить на (x^2+5)

  • Похожие выражения

  • atan((x^3+2*x^2+x+2)/(x^2+5*x+6))
  • (x-2)/(x^2+5)
  • (x+2)/(x^2-5)
Построение графика функции/ (x+2)/(x^2+5)

График функции y = (x+2)/(x^2+5)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
       x + 2 
f(x) = ------
        2    
       x  + 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{x^{2} + 5}$$ 
f = (x + 2)/(x^2 + 5)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда $x$ равняется 0:
подставляем $x = 0$ в $\frac{x + 2}{x^{2} + 5}$.
$$\frac{0 + 2}{0^{2} + 5}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{2}{5}$$
Точка:
$$\Bigl(0, \frac{2}{5}\Bigl)$$
Экстремумы функции

Step


Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
$$\Bigl(-5, - \frac{1}{10}\Bigl)$$
$$\Bigl(1, \frac{1}{2}\Bigl)$$

Step


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках:
$$\left[-5, 1\right]$$
Возрастает на промежутках:
$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов

Step


Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 5} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{486 + 243 \sqrt{5} i}}{3} - \frac{27}{\sqrt[3]{486 + 243 \sqrt{5} i}}$$

Step


Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках
$$\left[- 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3} \right)} - 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3} \right)} - 2\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/(x^2 + 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 5} = \frac{- x + 2}{x^{2} + 5}$$
- Нет
$$\frac{x + 2}{x^{2} + 5} = - \frac{- x + 2}{x^{2} + 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x+2)/(x^2+5)
    © Господин Экзамен – Калькулятор